lunes, 18 de agosto de 2014

Valores Característicos y Vectores Característicos

Sea T: V ➝ W una transformación lineal. En diversas aplicaciones resulta útil encontrar un vector v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar λ tal que:

Tv = λv (1)

Si v 0 y λ satisface (1), entonces λ se denomina un valor característico de T y v un vector característico de T correspondiente al valor característico λ. El propósito de este capítulo es investigar las propiedades de los valores característicos y vectores característicos. Si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT. Por esta razón se estudiarán los valores y los vectores característicos de las matrices de nxn.
 
Definición

Sea A una matriz de nxn con componentes reales. El número λ (real o complejo) se denomina valor característico de A si existe un vector diferente de cero v en n tal que
 
Av = λv (2)

El vector v0 se denomina vector característico de A correspondiente al valor característico λ.

Teorema

Sea A una matriz de nxn. Entonces λ es un valor característico de A si y sólo si 

p(λ) = det (A - λI) = 0

La ecuación anterior se denomina la ecuación característica de A; p(λ) se denomina el polinomio característico de A.
 

Ejemplos:
  • Determinar si un vector y un valor son característicos.

 
  • Cálculo de vectores y valores característicos.



 
Video: Polinomios carácterísticos

Transformaciones Lineales


Las transformaciones lineales están conformadas por una clase especial de funciones. Este tipo de funciones convierten a través de un conjunto de operaciones, un vector en otro vector. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Definición:


Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector vV un vector único TvW y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar a,

1) T(u + v) = Tu + Tv
2) T(av) = aTv

Ejemplos:

Determinar si las siguientes transformaciones de V en W son lineales:










 



 
Video: Introducción a las Transformaciones Lineales


Video: Ejemplo para determinar si una Transformación es Lineal


 
Video: Tranformaciones lineales en un juego de ajedrez

Combinaciones Lineales

Dados dos vectores: vector y vector, y dos números: a y b, el vector vector se dice que es una combinación lineal de vector y vector.


Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.


combinación lineal

producto 

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

vector

Esta combinación lineal es única.
 
Video: Combinaciones Lineales y Espacio Generado

Ejemplos: 
  • Dados los vectores vectores, hallar el vector combinación linealvector
operaciones 

El vector vector, ¿Se puede expresar como combinación lineal de los vectores vectores?

operaciones 

operaciones 

operaciones 

operaciones 

operaciones 

  • Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
 triángulosistemas

x1 = 7 x5 = 7  x3 = −1
y1 = 4 y5 = 0  y3 = 3


A(7, 4)B(5, 0)C(−1, 2)

Espacios Vectoriales

Video: Espacios Vectoriales Definición y Ejemplos


Ejemplos:

1. V = \mathbb{R}^2 es un espacio vectorial sobre el campo \mathbb{R}.


2. V = M_{{n}\times{m}}(\mathbb{R}) (el conjunto de matrices de {n} \times {m} con entradas en \mathbb{R}) es un espacio vectorial sobre el campo \mathbb{R}.


3. \mathbb{P}_n(\mathbb{R}) (los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes en \mathbb{R}) son un espacio vectorial sobre el campo \mathbb{R}.

¿Qué es el Álgebra Lineal y Cuál es su Campo?

 En cualquiera de los diseños de un puente, es necesario el uso directo del álgebra lineal.

Cada vez que hablamos de las matemáticas en cualquiera de las áreas de conocimiento humano, ya sea en la ingeniería, en la computación, la física, entre otras áreas, el concepto de álgebra lineal sale a flote. Esta es una rama de las matemáticas que facilita muchos procesos que de realizarse utilizando la recursividad, serían gigantescos cálculos sin fin para nuestra capacidad humana. Es por eso que como profesores de matemáticas, técnicos y profesionales, es necesario un conocimiento óptimo del álgebra lineal con el nivel de profundidad necesario para nuestros menesteres.

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas modernas que juega un papel central debido a que se encarga del estudio de conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales , espacios vectoriales y transformaciones lineales. En álgebra lineal, los conceptos son tan importantes como los cálculos, por lo que se convierte en un curso adecuado para introducir el pensamiento abstracto, debido a que una gran parte de su campo tiene una interpretación geométrica, que puede ayudar precisamente a visualizar esos conceptos. 

De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades por ejemplo, que la suma es conmutativa. Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad: Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno una especie de producto entre dos vectores que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos. 

El álgebra lineal tiene diversos campos específicos, por ejemplo: en la industria espacial, los circuitos eléctricos, las redes de comunicación, la arqueología, la predicción del tiempo, los movimientos de población, la relatividad, el análisis del tráfico y de rutas mercantiles.

 Video: Aplicaciones del Álgebra Lineal