Valores Característicos y Vectores Característicos

Sea T: V ➝ W una transformación lineal. En diversas aplicaciones resulta útil encontrar un vector v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar λ tal que:

Tv = λv (1)

Si v ≠ 0 y λ satisface (1), entonces λ se denomina un valor característico de T y v un vector característico de T correspondiente al valor característico λ. El propósito de este capítulo es investigar las propiedades de los valores característicos y vectores característicos. Si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT. Por esta razón se estudiarán los valores y los vectores característicos de las matrices de nxn.

 

Definición

Sea A una matriz de nxn con componentes reales. El número λ (real o complejo) se denomina valor característico de A si existe un vector diferente de cero v en n tal que
 

Av = λv (2)

El vector v ≠ 0 se denomina vector característico de A correspondiente al valor característico λ.

Teorema

Sea A una matriz de nxn. Entonces λ es un valor característico de A si y sólo si 

p(λ) = det (A - λI) = 0

La ecuación anterior se denomina la ecuación característica de A; p(λ) se denomina el polinomio característico de A.

 

Ejemplos:

• Determinar si un vector y un valor son característicos.

 

• Cálculo de vectores y valores característicos.

 

Video: Polinomios carácterísticos